哥德巴赫猜想（世界近代三大数学难题之一）_百科资料

简介

1742年，欧拉回信给哥德巴赫，认为该猜想可能为真，但其无法证明。此后，该猜想成为数学中一个著名的难题，众多数学家先后对该猜想进行验证，18/19世纪的数论专家对该猜想均未作出有效推进，20世纪的苏联数学家维诺格拉多夫证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"，对该猜想做出一定贡献。1966年，中国科学家陈景润证明了“任何一个充分大的偶数都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个为不超过两个素数的乘积”，成为距离该猜想被证实的最接近的学术成果。

哥德巴赫猜想经过多年的研究，其表述已逐渐转化为：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。

研究历史

研究起源

1742年6月7日，数学家哥德巴赫在给数学家欧拉的信中提出一个猜想：任何一个大于2的偶数都可写成两个素数之和，该猜想其本人无法证明，遂请教欧拉能否给出证明。同年，欧拉回信给哥德巴赫，认为这个猜想可能是成立的，但他也无法证明。

研究进程

18/19世纪，多位数论专家均对该猜想作出验证，但都以失败告终。其中，英国数学家华林在《代数沉思录》中，将该猜想的表述改为“每个不小于6的偶数都是两个素数之和，每个不小于9的奇数都是三个素数之和”，此后，该表述成为一个常用的哥德巴赫猜想表述。

因为无法直接证明哥德巴赫猜想的真实性，数学家们换了一种思路，开始考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积，将命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a＋b"，那么哥德巴赫猜想就是要证明"1＋1"成立。

1920年，挪威数学家布朗证明“每个充分大的偶数都是这样的两个正整数之和，其中每个正整数的素因子个数不超过9”，该结果被称为“9+9”，布朗在数论领域的工作有效推动了哥德巴赫猜想的研究。随后，德国数学家拉特马赫于1924年证明了"7+7"，英国数学家埃斯特曼于1932年证明了"6+6"，意大利数学家蕾西于1937年先后证明了"5+7""4+9""3+15"和"2+366"，苏联数学家维诺格拉多夫于1937年证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个素数的和来表示，其中，维诺格拉多夫的成果成为哥德巴赫猜想的一个阶段性成果。

此后，苏联数学家布赫夕太勃分别在1938年、1940年证明了"5+5"和"4+4"；匈牙利数学家兰恩尼在1948年证明了"1+C"，其中C很大；中国数学家王元在1956年证明了"3+4"，并在1957年又先后证明了"3+3"和"2+3"；中国数学家潘承洞和苏联数学家巴尔巴恩在1962年联合证明了"1+5"；1962年，中国数学家王元证明了"1+4"；1965年，苏联数学家布赫夕太勃、小维诺格拉夫和意大利数学家波波里联合证明了"1+3"，哥德巴赫猜想被不断的推进验证。

1966年，中国数学家陈景润在《科学通报》发表学术成果，证明任何一个充分大的偶数都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个为不超过两个素数的乘积。该成果也被简称为"1+2"，成为哥德巴赫猜想研究上里程碑式的成果。1973年，陈景润再度完成了对“1+2”证明的修改，并证明了定理：任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和。该定理发表后震动了国际数学界，被命名为“陈氏定理”。陈景润也因此被中国科学院破格晋升为研究员。

哥德巴赫猜想

由哥德巴赫提出的“任一大于2的偶数都可以写成两个素数之和”的猜想，后来也被称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”，国际数学界由此衍生出了“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”的猜想，即“任一大于7的奇数都可以写成三个素数之和”。

2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特（Harald Andrés Helfgott）通过计算机验证，最终完成了弱哥德巴赫猜想的证明。

研究途径

针对偶数的哥德巴赫猜想的研究途径通常有4种：殆素数、例外集合、小变量的三素数定理和几乎哥德巴赫问题。

殆素数

殆素数是众多数学家进行验证研究的主要方法，殆素数是指素数因子个数不多的正整数。设N为偶数，虽然不能直接证明N是两个素数之和，但可以证明N能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素数因子个数都不太多。用“a+b”来表示该命题即：每个大偶数N都可表示为A+B，其中A和B的素数因子个数分别不超过a和b。那么，哥德巴赫猜想最终就是要证明“1+1”。经过多位数学家的努力，该途径已被验证到“1+2”的地步。

陈景润关于“1+2”的证明：任何一个充分大的偶数都可以表示成两个素数的和或者一个素数及一个2次殆素数的和，即对于任给一个大偶数N，总可以找到奇素数p'，p''或p1，p2，p3，使得：

哥德巴赫猜想

例外集合

例外集合通过在数轴上取定大整数x，从x往前寻找使哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E（x）。假定不论x有多大，x之前只有一个例外偶数2，即只有2能使该猜想被证明是错的。那么，哥德巴赫猜想就等价于E（x）永远等于1。不过，迄今并不能证明E（x）=1，只能证明E（x）远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E（x）与x的比值趋于零。也就是例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。例外偶数是零密度的问题由中国数学家华罗庚在1938年给出证明。

三素数定理

三素数定理是指如果哥德巴赫的偶数猜想正确，那么奇数的猜想也正确。已知奇数N可以表示成三个素数之和，假如可以证明这三个素数中有一个非常小，比如第一个素数可以总取3，那么就证明了偶数的哥德巴赫猜想。在该研究途径中，中国数学家潘承洞于1959年研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方，而验证目标就是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，以此来推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞首先证明θ可取1/4，中国数学家展涛于1995年又证明了该数值可以取到7/120，不过这个数值仍然大于0。

几乎哥德巴赫问题

几乎哥德巴赫问题是数学家林尼克在1953年发表的一篇论文中提出，林尼克证明：存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。由此，林尼克指出，虽然无法直接证明哥德巴赫猜想，但是通过在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。即当k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而证明哥德巴赫猜想。该途径下，林尼克并没有具体定出k的可容许数值，只能判断k值应该很大。1999年，中国数学家廖明哲、王天泽联合首次定出k的可容许值为54000。此后，k值被不断改进，中国数学家李红泽、王天泽独立地得到k=2000，英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作定出k的可容许值为13。