三角函数（Trigonometric functions），又叫圆函数、角函数或测角函数，基本初等函数之一，三角函数建立在三角形的边和角之间关系的基础上，将直角三角形的内角和它的两边的比值相关联，亦可以用单位圆的各种有关线段的长来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，是最简单的周期函数之一，常作为研究基础数学的周期性的工具。数学分析上，周期函数三角函数亦定义为无穷级数或特定微分方程的解，它们的取值是任意实数值， 并允许将正弦函数和余弦函数的域扩展到整个复平面，也将其他三角函数的域延伸到复平面（从中删除一些孤立点），因此取值也可以是复数值。
本页面主要目录有关于三角函数的：发展历史、定义、相关计算、同角三角函数的基本关系、各象限三角函数值的符号、三角函数的图象和性质、相关概念、相关公式、相关定理、应用等介绍
三角函数
trigonometric functions
公元五世纪
喜帕恰斯、托密勒等
《数学汇编》、《大测》等
数学、导航、测绘学、固体力学等
三角函数的早期研究可以追溯到古代，但现代使用的三角函数是在中世纪发展起来的。公元前二世纪的喜帕恰斯和托密勒为世界上第一张正弦表的创造做出贡献，第一张弦表发表之后余弦表、正切表相继而出，十八世纪牛顿、欧拉等数学家对三角函数进行分析学上的研究，定义三角函数为无穷级数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。其中，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角函数中的每一个都有一个相应的反函数（称为反三角函数）。三角函数之间可以相互换算，通常称为三角恒等式，包括诱导公式、二倍角公式、三倍角公式、降幂公式等。
三角函数一般用于计算三角形中未知边的长度和未知的角度，在导航、工程学以及物理学等方面都有广泛的用途。在数学中，还有一类与常见的三角函数（或圆函数）类似的函数，通常称为双曲函数（或类三角函数），最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，进而推导更多双曲函数。
古代
三角函数的早期研究可以追溯到古代，公元五世纪到十二世纪，印度数学家首先对三角学做出贡献。“三角学”，英文trigonometry，法文trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用trigonometry这个词的是德国数学家皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版的著作《三角学:解三角学的简明处理》中，创造了这个新词。它源于希腊文τριγωυου(三角学)和μετρειυ(测量)，原义为三角形的测量，或者解三角形。当时的三角学没有形成一门独立的科学，而是依附于以观测太阳和星星为目标的天文学。
三角函数的奠基人是古希腊学者喜帕恰斯（公元前180-125年），他被称为“三角学之父”。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。他用既定的弧度，计算出对应的弦的长度数值，这些数值和现代的正弦函数是等价的，喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密（公元前90-165）在《数学汇编》（Syntaxis Mathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，计算和角公式和半角公式的方法，以及0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元五世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦的方法，也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。但古印度的数学与当时的中国一样，只停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。
三角学中“正弦”和“余弦”的概念是由印度数学家首先引进的，他们使用数学家阿耶波多提出的方法造出了比托勒密更精确的正弦表，把半弦与全弦所对弧的一半相对应，以此造出“正弦表”。
到九世纪，伊斯兰数学中已经知道了目前使用的所有六个三角函数，除了正弦（取自印度数学）外，其他五种现代三角函数都是由波斯和阿拉伯数学家发现的，包括余弦、正切、余切、正割和余割。阿拉伯人采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学却直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦和正切数值表。到公元十四世纪，阿拉伯人将三角计算的算术方式代数化为三角学从天文学中独立出来，成为一门独立的学科奠定了基础。
进入十五世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。欧洲商业的兴盛，加大航行、历法测定和地理测绘中对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作出间隔10秒（10″）、有9位精确值的正弦表，并改变正弦的定义，将原来称弧对应的弦长是正弦改为将角度对应的弦长称为正弦。
真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家约翰▪谬勒，雷基奥蒙坦纳斯是他的笔名，他是十五世纪最有声望的德国数学家，生于哥尼斯堡，年轻时从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并出版古希腊和阿拉伯著作。他创造了sine（正弦）一词，1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》，书中他将各种书上散的三角学知识，进行系统综合，成为三角学在数学上的一个分支。
十六世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达根据托勒密的结果总结出对应的平面三角形式，还尝试计算多倍角正弦的表达方式。
secant（正割）及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·芬克首创，最早见于他的著作《圆几何学》。cosecant（余割）为锐梯卡斯所创，最早见于他于1596年出版的《宫廷乐章》。cosine（余弦）及cotangent（余切）最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现，英国人根日尔首先使用。1626年，阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号：“sin”“tan”“sec”。1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”“cot”“csc”。
近现代
十八世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示，詹姆斯·格列高里进一步提出正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。欧拉（Leonhard Euler，1707年-1783年）的《无穷小量分析引论》中定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，在1748年经过数学家欧拉的引用之后，函数符号成为通用的符号。
我国古代没有关于角的函数概念，只用勾股定理解决三角学范围内的一些实际问题。据《周髀算经》记载，约与泰勒斯同时代的陈子利用勾股定理测量太阳的高度，其方法后来称为“重差术”。
三角学输入中国，开始于明崇祯4年（公元1631年），邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，这是我国第一部编译的三角学，它作为历书的一部份呈献给朝廷。在《大测》中，首先将sine译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。同年徐光启等人还编写了《测量全义》，其中有平面三角和球面三角的论述。1653年，薛风祚与波兰传教士穆尼阁合编《三角算法》，以“三角”取代“大测”，确立了“三角”名称。1877年，华煦等人曾探讨过三角级数展开式等问题。二十世纪后，现代的三角学主要研究角的特殊函数及其在科学技术中的应用，如几何计算等。
sine一词来源于拉丁语sinus，意思是“弯曲；海湾”，在12世纪将Al-Battani和Al-Khwārizmī的作品翻译成中世纪拉丁语时，被选为阿拉伯语单词
基本函数 | 函数符号 | 函数表达式 | 描述 | |
正弦函数 | sin |
任意三角形中 一般地，设
正切函数
弧度定义在微积分和数学分析中，三角函数通常被抽象地视为实数或复数的函数，而不是角度。事实上，函数sin和cos可以通过幂级数定义为所有复数的指数函数，也可以定义为给定特定初始值的微分方程的解（见下文），而无需参考任何几何概念。其他四个三角函数（tan、cot、sec、csc）可以定义为sin和cos的商和倒数，除非分母中出现零。对于真实的自变量，如果自变量被视为以弧度给出的角度，则可以证明这些定义与初等几何定义一致。此外，这些定义产生了导数的简单表达式和三角函数的不定积分。因此，在初等几何之外的设置中，弧度被视为描述角度测量的数学自然单位。
当使用弧度（rad）时，角度为其所对的单位圆的弧长：单位圆上长度为1的弧所对的角度为1 rad（≈57.3°），整圈（360°）为2π（≈6.28）rad的角度。对于实数x，符号sin x、cos x等指的是在x rad角度下评估的三角函数值。如果使用度单位，则必须显式显示度符号（例如，sin x°、cos x°等）。使用此标准表示法，三角函数的自变量x满足关系x=（180x/π）°，因此，例如，当我们取x=π时，sinπ=sin 180°。这样，度符号可以被视为一个数学常数，使得1°=π/180≈0.0175。 单位圆定义单位圆是以平面直角坐标系的原点O为中心的半径为1的圆。直角三角形定义允许为0和弧度（90°）之间的角度定义三角函数，而单位圆定义允许三角函数的域扩展到所有正实数和负实数。将射线从x轴正半部分的方向逆时针旋转角度θ，得到该射线（见图）与单位圆的交点点A，再通过将射线延伸到与
微分方程定义正弦和余弦是唯一的可微函数，使得
(2）余弦函数
(3）正切函数
三角函数的图象和性质函数的周期性(1）周期函数的定义：一般地，对于函数
(2)
性质
(2)
性质
(2)
性质
正割函数
余割函数
相关概念定义域和值域正弦函数的定义域为R，值域为[-1,1]，当且仅当
相关公式诱导公式诱导公式内容
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