一元二次方程 （一种代数方程）

简介

一元二次方程的历史可以追溯到公元前2250年的古巴比伦和3000年前的古埃及。希腊时代的欧几里得和丢番图也研究了二次方程。印度数学家婆罗摩笈多和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米给出了二次项系数为1的求根公式。中国古代的著作《九章算术》和《周髌算经》也有关于一元二次方程的内容。印度数学家拜斯卡拉给出了正负两根的求根公式。意大利数学家斐波那契系统性介绍了方程理论，而法国数学家韦达和笛卡尔对一元二次方程进行了补充。一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、图像法、求根公式法、因式分解法、计算机法。

一元二次方程在数学问题求解中具有重要的应用。例如根据一元二次方程的计算和计算黄金分割比等等，也可以解决生活问题。

发展简史

一元二次方程的历史可以追溯到公元前2250年的古巴比伦，古巴比伦人将此类的代数问题刻在泥板上，用以解决矩形面积问题。在发现于卡呼恩（Kahun）的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的问题。公元前300年前后，数学家欧几里得（Euclid）所著的《几何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命题5、命题6以及卷VI命题12、命题13的内容可以被视为二次方程的几何解。继欧几里得之后，丢番图（Diophantus）在他的著作《算术》（Arithmetica）中提出了许多二次方程或可归结为二次方程的问题。不过，丢番图在求解二次方程时通常只取一个根，如果方程有两个正根，他会选择较大的一个。中国古代也很早就有对一元二次方程研究的记载。例如，秦汉时期的数学著作《九章算术》中，提出了一种“开带从平方”法求解一元二次方程。同时期的另一部著作《周髀算经》已经给出了一元二次方程的公式化解法。

公元7世纪和9世纪时，印度数学家婆罗摩笈多（Brahmagupta)和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米（Al - Khwarizmi）先后给出了二次项系数为1的方程的求根公式，但只给出了正根部分。公元1150年，印度数学家拜斯卡拉（Bhaskara Acharya）对一元二次方程方程的一般形式进行研究，同时给出了正负两个根的求根公式，与现代求根公式是一致的。十三世纪，斐波那契（Fibonacci）在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中系统介绍了印度－阿拉伯数码，二次和三次方程以及不定方程理论。随着欧洲人在代数学领域的深入研究，包括一元二次方程在内的数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta）解释了一元二次方程根与系数的关系。1637年，笛卡儿（RenéDescartes）完成了对韦达代数符号的改进。

定义

• 只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。例如：

  

  求根公式法  

  解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法

  推导过程

  任何一元二次方程都可以写成

  

  衍生概念

  一元n次方程

  对于一元n次方程

  

  如上图所示，假设矩形的长为

  

  解：由题可得

  

  设每轮平均一个人传染x人，

  可列方程

  

  （

  

  ）＝121，

  

  

  （不合题意，舍去）

  ∴

  

  增长率问题：年前生产1吨药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨药品的成本是3000。求该药品成本的年平均下降率。设药品成本的年平均下降率为

  

  ，则一年后药品成本为

  

  （

  

  ）元，

  两年后药品成本为

  

  （

  

  ）²元，

  于是有

  

  （

  

  ）²

  

  解的

  

  （不合题意，舍去）