双曲线 （应用于数学解析几何的函数曲线）

简介

对双曲线的研究始于古希腊时期，当时人们是从纯几何的思路进行研究的。随着17世纪解析几何的建立，人们开始采用方程思想研究双曲线的性质。双曲线在生产实践中具有广泛的应用。

历史

约公元前 4 世纪，古希腊学者梅内克谬斯(Menaechmus)在研究平面与圆锥相交时最先发现了圆锥曲线，即椭圆，抛物线和双曲线是圆锥体表面与平面的交点产生的。如图所示，

公元前2世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）从纯几何的思想出发，建立起系统的圆锥曲线理论。讨论如右图所示，他在同一个圆锥体中使用不同的切割面得到了圆、圆、双曲线、抛物线4种图形。阿波罗尼奥斯发表了数学著作《圆锥曲线论》，该著作详细介绍了双曲线等圆锥曲线的性质。

16世纪，德国数学家约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星三大定律，意大利数学家伽利略·伽利雷（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于运动合成的思想，发现了物体斜抛运动的轨迹为抛物线，人们开始意识到圆锥曲线不单是圆锥体的切割面，还与自然界的运动变化息息相关。

17世纪，法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）和皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）创立了解析几何，建立起坐标系的概念，用数学方程来研究圆锥曲线的各种性质。1745 年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发表了《分析引论》，基于方程思想对圆锥曲线进行了系统的研究。

基本概念

定义

把平面内与两个定点

如图所示，直角坐标系中

分别过

双曲线

当焦点位于

参数方程

双曲线

反比例函数的曲线是一种特殊的等轴双曲线，其图像关于原点对称，渐近线为

证明如下：

在直角坐标系

等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，因此可以将这两条渐近线旋转45°得到新的坐标系

该等轴双曲线上点在新的坐标系中的坐标与原坐标系坐标存在如下关系：

则新的坐标系中可以得到：

如果令

则有

不妨使用

则有

即得到反比例函数的图像。

应用

双曲线是一种常见的二次曲线，在许多领域都有着广泛的用途。例如, 在军事上, 根据观察站所测得的炮声的时间差, 借助于双曲线方程, 就可以 确定出敌人的炮兵阵地的位置. 又如, 巴黎有名的埃菲尔铁塔是双曲线形的建筑。由双曲线生成 的曲面具有良好的抗压能力, 被广泛用于多类工程设计中, 能节省大量的建筑材料, 进而减少投资,降低成本。如许多水电站大坝就是采用的是双曲面构型。