置换是群论中的一个基本概念，表示集合G=1,2,3,...,n中每个数换位到另一个位置。循环是一种比较简单的表示置换的方法。

本页面主要目录有关于循环的：定义、性质、定理、分类等介绍

所属学科

数学

定义

约定一个记号：

循环

叫做m阶循环，循环可以理解为压缩表示的置换

循环

。置换 只与元素的相邻状况有关，与哪个元素为首无关，比如
循环
。

性质

如果两个循环没有相同的元素，则称为是不相交的，不相交的两循环可以相乘，例如：

循环

定理

定理：任何一个置换都可以表示成若干循环的乘积。

证明：对任意置换：

循环

从1开始搜索，如

循环

，则得一循环
循环
，若该循环包含了1到n所有元素，则搜索停止。否则从余下的元素中任一元素开始，如上述方法进行，再得一循环，如此反复直到所有元素都取完为止。

分类

置换分成两大类：奇置换与偶置换。

若一个置换能分解为奇数个换位之积，则为奇置换，若可以分解为偶数个换位之积，则为偶置换。

举例说明：

循环

3个换位，为奇置换

循环

0个换位，为偶置换