黑格纳数(Heegner number)指满足以下性质,非平方数的正整数:其虚二次域Q(√−d)的类数为1,亦即其整数环为唯一分解整环。

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外文名

Heegner number

提出者

库尔特·黑格纳

术语类别

数学

简介

黑格纳数只有以下九个:1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。(OEIS中的数列A003173)。

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个,但未提出证明,1952年库尔特·黑格纳提出不完整的证明,后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明,即为斯塔克–黑格纳定理。

欧拉的质数多项式

欧拉的质数多项式如下:

黑格纳数

黑格纳数

时会产生不同的40个质数,这相关于黑格纳数
黑格纳数
.

欧拉公式,取值为

黑格纳数

和以下的多项式

黑格纳数

黑格纳数
取值
黑格纳数
时等效,而Rabinowitz证明了

黑格纳数

黑格纳数
时,多项式为质数的充份必要条件为其判别式
黑格纳数
等于负的黑格纳数。

(若代入

黑格纳数

会得到
黑格纳数
一定不是质数,因此最大值只能取到
黑格纳数

1, 2和3不符合要求,因此符合条件的黑格纳数为

黑格纳数

,也就表示可以让欧拉公式产生质数的p为
黑格纳数
,这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈称为欧拉的幸运数。

拉马努金常数

拉马努金常数是

黑格纳数

的值,是超越数,但非常接近整数:

黑格纳数

这个数字是在1859年由数学家夏尔·埃尔米特发现,在1975年愚人节的《科学美国人》,《数学游戏》的专栏作家马丁·加德纳故意声称这个数字其实是整数,而印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也预测了这个数很接近整数,因此以他的名字来命名。

这个巧合可以用j-invariant的复数乘法及q展开来表示。

注解

黑格纳数

的整数环为唯一分解整环,也就表示
黑格纳数
的数字都只有一种因数分解方式,例如
黑格纳数
的整数环不是唯一分解整环,因为6可以以两种方式在
黑格纳数
中表成整数乘积:
黑格纳数
黑格纳数