斐波那契数列 （列昂纳多·斐波那契提出的数列）

简介

斐波那契数列与黄金分割有着紧密的联系，例如在比奈公式中就出现了黄金分割数，前后两项的斐波那契数之比的极限恰好为黄金分割数。此外，斐波那契数也与卢卡斯数密切相关，他们都服从相同的递归关系，即也就是从第三个数开始，每个数等于前两个数的和。无论是在自然界中，还是在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有重要的应用与存在。

历史由来

13世纪，意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他的《算盘书》（Liber Abaci）中提出了一道兔子繁殖问题。如果每对兔子(一雄一雌)每月能生殖一对小兔子(也是一雄一雌)，这些小兔子出生以后第二个月就能再生一对小兔，假定这些兔子都没有死亡现象，从养刚出生的一对兔子开始算起，求12 个月以后会有兔子的对数。

根据问题，可以逐一列出每个月的兔子对数，如下表所示。

如果将每月的兔子数量以数列形式排列：

第一个数：1

第二个数：1

第三个数：1+1=2

第四个数：1+2=3

第五个数： 1+3+1＝5

这些数字构成的数列

黄金分割数是自然之美的一种概括，在自然界和人类本身都能体现这种比例。例如，人的肚脐的高度差不多就是人身高的 0.618。黄金分割数蕴含的美学概念在古希腊就已经为人所运用，如希腊时期的巴特农神殿其高与宽的比例正好是 0.618，埃及金字塔的侧棱线与底线的比例也正好是0.618。除了建筑，黄金分割还广泛应用于绘画、摄影、音乐等领域中。

斐波那契数列与黄金分割数有着紧密的联系，例如在比奈公式中就出现了黄金分割数，此外，前后两项的斐波那契数之比的极限恰好为黄金分割数。斐波那契数列在自然界中的广泛分布，与其蕴含的这种联系密不可分。

黄金螺旋线

如果一个矩形的长宽比为黄金分割数，该矩形被称为黄金矩形。如右图所示，首先在黄金矩形内部取最大的正方形，并将其去掉，则余下的矩形同样为黄金矩形，继续上述操作，并按照右图方式绘制正方形的内接四分之一圆，将这些圆以此连接可以得到一条螺旋线，被称为黄金螺旋线。在很多植物、动物的躯体构造中都能看到黄金螺旋线的身影。

应用

自然界中的存在

在自然界中，斐波那契数列广泛存在于许多事物中。例如，同一种植物的叶子在茎上呈现相同的周期性排列规律，对于榆树来说每两片叶子绕茎一圈为一个周期，可记为1/2；类似的，樱桃每五片叶子绕茎两圈为一个周期，可记为2/5；这些数字恰好为斐波那契数列的第n项与第n+2项之比，许多植物的茎叶排布与这个规律有关。在生物学中，有一条“鲁德维格定律”，描述的是树木生长过程中各个年份的枝条数，这与兔子问题类似，也构成斐波那契数列。此外，植物的花瓣、叶子、花蕊的数目大多数都为3、5、8、13这类斐波那契数列中的项，例如，梅花有5片花瓣，万寿菊的花瓣有 13 片等等。除此之外，菠萝表面的鳞片分布、仙人掌的结构、向日葵种子的排列方式等存在关联。不单是植物，一些动物的行为也与斐波那契数列有关，如蜜蜂进蜂房，雄峰家系每一代的数量等。

数学

数学中的许多实际问题也与斐波那契数列有关，以下面的爬梯子问题为例，对于一个有十级台阶的楼梯，规定每一步只能跨一级或者两级台阶，求爬完这个楼梯的方法数量。分析可知，爬上一级台阶只有一种方法，二级台阶有两种方法，三级台阶有三种方法，四级台阶有五种方法，五级台阶有八种方法，六级台阶有十三种，以此类推，爬完一个n级台阶的方法数量恰好呈斐波那契数列排布（从第二项开始）。

在代数中，使用迭代的方法求得方程

物理学

1984年，美国科学家谢赫特曼(D.Shechtman)等人宣布在一种材料中发现了准晶体结构，这改变了经典晶体学中传统的物态理论，即自然界中不存在介于晶体和玻璃体的中间形式，从此开拓了一个崭新的研究领域。研究发现，准晶体产生的准周期性明锐衍射斑点分布与斐波那契数列也存在一定关联。