贝尔不等式 （贝尔提出的一个物理学不等式）

简介

1964年，贝尔（Bell）首次在题为《论EPR佯谬》（《On the Einstein Podolsky Rosen Paradox》）的论文中引入了贝尔不等式的推导。克劳塞 （John Clauser）等人于1972年利用偏振相关的光子对完成了对贝尔不等式的实验检验。阿斯佩克特（Alan Aspect）、克劳塞和泽林格（Anton Zeilinger）因利用纠缠光子对贝尔不等式的实验验证，获得2022年的诺贝尔物理学奖。

2015年，罗纳德·汉森（R. Hanson）等人发表的文章被《自然》用作封面，文章表示他们成功关闭所有贝尔不等式实验漏洞，量子理论比定域性隐变量理论更准确地描述量子纠缠现象。2016年，陈静玲等人发现一种避免贝尔不等式验证实验中的定域性漏洞的方法；2017年，琼斯（Jöns）等人研究出一种可用于贝尔不等式实验的纳米级光源；2018年 ，李伟和赵胜梅发现高维位置纠缠双光子态的相关衍射可用于验证贝尔不等式；2021年，鲁兹贝哈尼利（Ruzbehani）利用纠缠对状态之间的超光速影响进行了贝尔模拟实验，验证了贝尔不等式。2023年，斯托兹（Storz）等人验证了超导电路的无漏洞贝尔不等式验证实验，结果违反贝尔不等式。

概述

贝尔不等式的数学形式

贝尔不等式的数学形式为

可见， 测量设备的夹角与相关性之间是线性的，而实际量子力学的测量结果并不是线性的，与贝尔不等式的预测值相悖：

简史

1952年，玻姆（David Joseph Bohm）提出了隐变重理论，将量子力学中不能对某些观测量做出精确预言的事实归结为还不能确切知道的隐变量。1955年，冯·诺依曼（Von Neumann）在《量子力学的数学基础》（《Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik》）一书中，作出了关于隐变量理论的一种“ 不可能性” 证明，冯·诺依曼给出“ 不可能性” 证明后，格雷特·赫尔曼（Grete Hermann）、贝尔等人分别指出了其证明的错误性。

1935年，爱因斯坦（Albert Einstein）、波多尔斯基（Podolski）、罗森（Rosen）合作发表了《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？》（《Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?》），认为量子力学是不完备的，并提出两个假设——定域性和实在性。

1960年，李政道和杨振宁意识到，量子力学中的关联与经典关联有着本质的差别。李政道在阿贡（Argonn）国立实验室访问时谈到他们关于量子力学在宏观尺度上关联效应的工作。他指出，这些关联效应存在于同时产生并向相反方向运动的两个中性K介子之间，与EPR态的问题密切相关：经典系综绝不可能给出K介子这种量子关联效应。在1961年《物理评论》（《Physical review》）的一篇文章中也提及了李政道和杨振宁这个关于EPR佯谬的工作。

1964年，贝尔在定域性隐变量存在的前提假设下，导出了一个关于在各个方向进行量子测量的关联函数的普适性不等式，即贝尔不等式。1969年，美国的克劳塞等人将贝尔不等式推广到量子纠缠态系统，得到了一个与贝尔不等式等价的新不等式，被称为 CHSH 不等式。1972 年，克劳塞等人首先在实验上得到了违背贝尔不等式的结果，但是这个实验在隐变量的实在性、定域性等方面的实验设置上存在漏洞。继贝尔之后，埃斯帕纳（d’Espagnat）与维格纳（E．P Wigner）等人对贝尔不等式给出了不同的证明，包括洪定国所介绍的证明在内，贝尔不等式已有了多种证明方法。

1982年，阿斯佩克特等人改进了克劳塞的贝尔不等式实验，对两光子偏振态实施测量的实验结果违反贝尔不等式。

1998年，泽林格等人在奥地利因斯布鲁克大学利用两个量子随机发生器来产生纠缠粒子，完成贝尔不等式实验并彻底排除定域性漏洞，实验结果同样违反贝尔不等式。2015年，代尔夫特大学（Technische Universiteit Delft）团队首先报告了已完成无漏洞实验，他们通过测量相隔1.3 km的金刚石点阵空位中的两个纠缠电子完成贝尔不等式实验，同时了排除定域性漏洞和测量漏洞，实验结果违反贝尔不等式，排除了局域隐变量理论存在的可能性。

相关概念

玻恩（Max Born）几率解释

玻恩提出波函数的几率解释，认为大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律，将粒子的波动性和粒子性联系起来。微观粒子的运动状态可以用波函数

隐变量理论

隐变量理论也称为随机解释，是1951年由巴西科学家玻姆提出的一种用隐变量来解释可观察现象的量子力学解释，认为在量子世界表面上的随机性底下可能隐藏着更深刻的原因，即隐变量。隐变量是指用它描述物理实在的较精细状态时，能导出各种唯象定律，但无法用现有的手段测定的量。

定域实在论

爱因斯坦、潘多尔斯基和罗森发表了题为《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？》的论文，对量子力学的完备性提出质疑，认为在对体系没有干扰的情况下，如果能确定地预言一个物理量的值，那么此物理量就必定是客观实在，对应着一个物理实在元素；一个完备的物理理论应当包括所有的物理实在元素。对于两个分离开的并没有相互作用的体系，对其中一个的测量必定不能修改对于另一个的描述，自然界不存在超距的相互作用，上述观点被称为定域实在论。

EPR佯谬

爱因斯坦、潘多尔斯基和罗森发表的《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗？》论文分析了由两个粒子组成的一维体系，他们认为，虽然每个粒子的坐标与动量算符不对易，但是两个粒子坐标算符之差

1982年，阿斯佩克特（Alan Aspect）等人改进了克劳塞的贝尔不等式实验，对两光子的偏振态进行测量并验证它们的相关程度，实验结果违反贝尔不等式，证明了量子非局域纠缠的存在性。

1998年，泽林格等人在奥地利因斯布鲁克大学完成贝尔不等式实验，彻底排除定域性漏洞，实验结果具有决定性。

2015年，代尔夫特大学团队完成无漏洞的贝尔不等式验证实验，同时排除定域性漏洞和测量漏洞，实验结果违反贝尔不等式，排除了局域隐变量理论的存在性。

2015年，罗纳德·汉森等人在《自然》的封面文章表示，成功关闭所有实验漏洞，量子理论能够比定域性隐变量理论更准确地描述量子纠缠现象。

2016年，在 ICFO（西班牙光子科学研究所）的协调下进行了一个全球性的贝尔不等式验证实验，超过 10 万名志愿者参与，在 12 小时内持续产生的数据流，分发给全球 13个实验小组进行实验。2018年5月， 《自然》杂志刊登了大贝尔实验室的文章《用人类自由意志的选择来挑战局域实在性》（《Challenging local realism with human choices》），公布了实验结果的详细数据，结果违反贝尔不等式。

原理

假设存在这样一个定域隐变量

多世界解释

多世界解释认为，测量时，世界分裂成多个分支，从单个测量操作的每个副本来看，另一关联性测量结果有多个不同的副本，另一关联性测量结果是不确定的，另一测量操作的每个副本来看也是如此。只有当它们未来的光锥重叠时，它们才会获得相互明确的结果。此时我们可以说贝尔相关性开始存在，但它是由纯粹的局部机制产生的。因此，违反贝尔不等式不能被解释为非定域性的证明。

非局部隐藏变量

非局部隐变量理论认为粒子间会交换有关其自身状态的信息，它要求宇宙中的所有粒子都能够瞬时地与其他粒子交换信息，但非局部隐变量理论无法解释为什么这种瞬时通信可以存在于隐变量层面而不能用于发送信号。

超决定论

测量的选择必然与被测量的系统相关的（假设）理论被称为超确定性理论。贝尔定理推导过程的一个必要假设是隐变量与测量设备、方法不相关，而实验者有某种“自由意志”来选择设置，使得测量结果与实验者的选择相关。

研究进展

2015年，弗拉斯塔基斯（Brian Vlastakis）、佩特连（Andrei Petrenko）等人使用具有高保真测量和实时反馈的超导电路，研究了退相干对16个光子尺寸的相干态叠加（称为猫态）纠缠的系统，发现其相关性超过了贝尔不等式的经典最大值。

2016年，陈静玲、任昌良、陈长波等发现由贝尔不等式所验证体现的贝尔非定域性可以通过违反爱因斯坦-波多尔斯基-罗森转向不等式来检测，为研究没有贝尔不等式但有转向不等式的贝尔非定域性提供了一种独特的方法，而且还可以避免贝尔不等式验证实验中的定域性漏洞，使贝尔非定域性更容易论证。

2017年 ，琼斯（Jöns）、施韦克特（Schweickert）、维斯蒂格（Versteegh）等人展示了一种可用于贝尔不等式实验的纳米级光源，可以由具有高度对称性的量子点产生偏振纠缠光子对。

2018年 ，李伟和赵胜梅证明了，理论上在希尔伯特空间中纠缠的两部分系统的联合概率可以通过在其对偶空间中选择一组通过傅立叶变换相关的基向量来测量。发现可通过高维位置纠缠双光子态的相关衍射进行贝尔不等式实验。

2021年，鲁兹贝哈尼利（Ruzbehani）用遵循马吕斯定律（Malus‘s Law）的偏振器模型和量子转向概念，即纠缠对状态之间的超光速影响，进行了贝尔模拟实验。模拟结果与量子力学的理论预测完全一致，完全违反贝尔不等式。

2023年，斯托兹（Storz）、沙尔（Schär）等人验证了超导电路的贝尔不等式无漏洞违反，表明了非局域性是量子信息技术中一种可行的新资源，超导电路的非局域性，在量子通信、量子计算和基础物理中具有潜在的应用。

应用

量子通信

基于纠缠光子对的量子密钥分发协议的安全性可由贝尔不等式验证，若存在窃听者，则当通信双方对从各自产生的筛选密钥中抽取一部分进行抽样检查时，会发现有相当比例的密钥不同。错误密钥占所有密钥的比例即为量子误码率，当量子误码率超过理论上限时，窃听者被暴露。而量子通信的安全性基于量子纠缠，相互纠缠的粒子之间存在一种关联，无论它们的位置相距多远，若其中一个粒子改变，另一个必然改变，或者说一个经测量坍缩，另一个也必然坍缩到对应的量子态上；这种关联可以用贝尔不等式来检验，借助量子纠缠协商密钥，被窃听时就可主动发现。

量子计算

贝尔不等式验证了光量子纠缠，对量子计算机中的应用而言，光子是较好的量子比特。通过多光子纠缠态的创建、控制及测量，单量子比特门能用标准的光学器件来实现，如移相器和分束器。光子与物质及彼此之间的相互作用很弱，具有良好的相干性，可用于远距离量子信息传输。

研究意义/影响

贝尔不等式提供了用实验在量子不确定性和爱因斯坦的定域实在性之间做出判决的机会；贝尔不等式不成立意味着，爱因斯坦所主张的定域实在论，其预测不符合量子力学理论。贝尔不等式把量子力学中纠缠着哲学思辨的争论演化成了可以实际进行的具体的检验，提供了用实验在量子不确定性和爱因斯坦的定域实在论之间做出判决的机会，指引了信息领域的发展，不仅对量子力学的完备性和量子实体的不可分离性起到了“见证”的作用，而且对开阔人们的思维和视野将产生积极长久的影响。诺贝尔物理学奖得主约瑟夫森（Josephson）认为贝尔不等式和贝尔定理是“物理学中最重要的进展”，哲学家斯塔普（Stapp）认为贝尔定理是“意义最深远的科学发现”。

类似现象/理论

压缩态

压缩态也叫压缩相干态，是具有最小不确定度的一类态。其应用技术可对激光的量子噪声或涨落进行大幅压缩，在光学通信、精密测量、量子计算等多方面具有重要价值。压缩态，是对相干态噪声的压缩，通常压缩态的一个正交分量的量子涨落（噪声）会小于传统的相干态；为了达到这一要求，另外一个正交分量的量子涨落则会大于相干态的噪声。相干态是具有最小不确定度这类态中的一组特定成员，它的两个正交中具有相同的噪声。