椭圆（圆锥曲线的一种）_百科资料

简介

椭圆是封闭类型的圆锥曲线：追踪圆锥与平面相交的平面曲线，在公元前4世纪，被称为”锐角圆锥截线”。

椭圆在天文学、计算机图形学、统计与金融学中很常见。例如，在天文学中，利用椭圆相关的数学知识结合物理规律解决关于卫星在万有引力作用下做椭圆轨道的机械能问题。在计算机图形学中，将椭圆绘制为图形基元，MLV Pitteway在1976年将Breseham的直线算法扩展到了二次曲线。在统计与金融学中，椭圆分布很重要，因为如果资产回报率联合椭圆分布，那么所有投资组合都可以完全由其均值和方差来表征，也就是说，任何两个具有相同投资组合回报均值和方差的投资组合都具有相同的投资组合分布返回。

椭圆词源

ἔλλειψις，英译ellipse，也就是现在称为椭圆的曲线，是由古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）在其著作《圆锥曲线论》中提出的。

发展历史

约公元前 4 世纪，古希腊学者蒙爱启马斯(Meneachinus，约公元前375~325)在研究平面与直圆锥相交时得到了三种不同的圆锥曲线，其中截锐角圆锥所得的截线成为“锐角圆锥截线”，这种截线就是现在的“椭圆”。这也是椭圆视为圆锥截线的原始定义的由来。

公元前2世纪，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga）从纯几何的思想出发，建立起系统的圆锥曲线理论。如右图所示，他在同一个圆锥体中使用不同的切割面得到了圆、椭圆、双曲线、抛物线4种图形。阿波罗尼奥斯发表了数学著作《圆锥曲线论》，该著作详细介绍了椭圆等圆锥曲线的性质。

17世纪，法国数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）和皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）创立了解析几何，建立起坐标系的概念，用数学方程来研究圆锥曲线的各种性质。1745 年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）发表了《分析引论》，基于方程思想对椭圆曲线进行了系统的研究，建立起完整的椭圆积分等理论。

19 世纪，经法国数学雅可比（Abel Jacobi）等人从椭圆积分发展出椭圆函数理论，将变量从实数范国延伸至复数范围。

中国古代也早对椭圆做了研究，在《测量全义》《恒星历指》等书中都记载了不少关于椭圆的知识。1742年编成的《历象考成后编》中，不仅记载了椭圆的许多性质和画法，并且研究了椭圆的切线和面积公式，特别是项名达、戴煦所著《椭圆求围术》中，用初等方法推得椭圆周长的计算公式与后人用积分方法的结果完全一致。

概念简介

椭圆（ellipse）是平面内与两个定点F,F’的距离之和等于常数（大于|F,F’|的点的轨迹。这两个顶点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆有两条相互垂直的对称轴（称为椭圆的轴），它们的交点是对称中心（称为椭圆的中心）。通过焦点的轴称为长轴，另一条轴称为短轴。两轴与椭圆的四个焦点都称为椭圆的顶点。长轴上两个顶点之间的线段被称为短轴。

椭圆定义

第一定义

平面内与两个定点

或

建立如图4-1所示的直角坐标系

相对于中心的椭圆极坐标：

相对于焦点的椭圆极坐标：

主轴

如图5-1中，线段

楠圆的焦距与长轴长的比

不通过锥面顶点的圆锥截线（如图6-1），可以看作圆在截平面上的射影（射影直线重合与母线）。椭圆平面和锥面沿母线

得

椭圆旋转

平面E绕着它上面的一个圆周的中心的旋转，是把这个圆周平面变成自己的平面E的仿射变换。它所诱发的平面E的变换叫做椭圆旋转。

椭圆的旋转是一种平面仿射变换，即将椭圆绕其中心旋转的平面仿射变换。在平面直角坐标系中，椭圆旋转

椭圆标准方程为：

许多光灯泡是椭球形就是根据这个性质设计的，如下面要介绍的一种电影放映机的聚光灯泡。它的构造如图11-2-2所示椭圆弧

片门如放在

如图11-3-1，是体外冲击波碎石机原理示意图，1980 年2月2日，在德国慕尼黑首次使用于临床。这种碎石机的冲击波源，是在一个半椭球形金属反射体的一个焦点处安置的电极，反射体内充满水。当高压电在水中放电时，在电极极尖处产生高温、高压，因液电效应而形成高频超声波。这种冲击波向四周传播，遇椭球光滑表面反射而会聚于第二焦点处。当人体结石经 B超定位而处于第二焦点时，结石在冲击波的多次拉应力和压应力的联合作用下粉碎，然后自然排出体外。这种体外冲击波碎石适用于肾、膀胱、输尿管结石的治疗，它无需病人住院，无手术创伤，无痛苦，完成治疗省时，而且费用低。

激光消痣

如图11-3-2，是英国剑桥大学于 70 年代发明的一种医用激光消痣器，它可用于人体美容，治疗人体皮肤的各种色素斑、鲜红斑痣、黑痣等。这种激光消痣器的消痣头，是一个半椭球形有机玻璃固体，激光束位于椭球的一个焦点处。激光经椭球壁反射后聚焦射向痣区，瞬间完成去痣操作，同时保护正常皮肤，大大提高美容效果。

建筑应用

意大利威尼斯水城和北京颐和园椭圆拱桥

还有的拱桥主跨是椭圆形。如在16世纪欧洲就盛行建造圆拱桥，到意大利威尼斯水城，就见一座座椭圆石拱桥在水面上成半月状，与水城建筑风格相映成趣。

如图11-4-1，是建于我国清朝乾隆年间(1736-1795 年)的北京顾和园树圆拱形玉带桥。这桥拱高耸，桥拱与水中倒影恰成一长轴竖直的椭圆，配以柔曲桥面及汉白玉桥体和精美石雕，放在山水绿柳中，美景独特。在天津南开大学内有一座便桥，其桥拱是一个长轴水平方向的半椭圆。又如 2006 年初建成的江苏无锡长广溪大桥，是无锡正规划、开发建设有50万人口的滨湖新城的景观大桥。它是6跨圆拱结构，全长224米，椭圆拱横放并列建筑，抗压强度好，排洪泄涝能力大。该桥的六椭圆联拱仿欧洲风情造型和整座桥精致华丽的建筑，成为无锡最漂亮的桥梁。

椭球形“上海科技城”与“南京青少年科技活动

近 10 年来，我国的薄壳结构建筑也得到迅速发展。如图11-4-2，是 2005年8月在上海浦东建造的“上海科技城”，其壮观的椭圆形球体，长、短轴分别为67米、51米。如图11-4-3，是 2005 年10月在南京雨花台区建造的“南京青少年科技活动中心”的主体科技馆，呈椭球体，面积3万平方米。该科技馆外形奇特像鲸鱼、像潜水艇，它的设计原型是法国著名科幻小说家儒勒·凡尔纳科幻小说《海底两万里》中那艘探寻科学奥秘的魔船。这个“南京青少年利技活动中心”已成为一流的现代科技公园。

统计与金融应用

在统计学中，二元随机向量

海豚海龙

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