庞加莱猜想 （庞加莱1904年提出的数学猜想）

简介

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了拓扑学的猜想，后来被称为“高维庞加莱猜想”。2002年-2003年期间俄罗斯的格里戈里·佩雷尔曼(Gigofi Perelman)先后写出了3篇文章，证明了庞加莱猜想，因而获得了有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖。2006年6月初，世界著名的华裔数学家、中国科学院外籍院士丘成桐宣布：经过美国、俄国和中国数学家30多年的共同努力。两位中国科学家朱熹平和曹怀东最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。

刘易斯·汉密尔顿所创造的Ricci流证明法和佩雷尔曼证明法都利用到了李伟光-丘成桐不等式的微分方程来证明庞加莱猜想，而庞加莱猜想的证明，有助于人类更好地研究三维空间，对物理学、工程学、天体学等的发展将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

定义

数学定义

“庞加莱猜想”用数学语言表达就是：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”后来这一猜想又被描述为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”用简单的话说就是：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

通俗理解

想象有一个球形的房子，这个房子没有窗户也没有门，并且墙壁是用钢做的，非常结实。再想象一只可以吹成任意形状的气球，这个气球的皮不仅不会被吹破，而且可以无限的变薄。然后将这个气球放进这个球形房子里，开始吹它，一直吹它，吹到最后会怎么样呢。庞加莱先生猜想，吹到最后一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有任何缝隙。

发展历史

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：“如果一个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是三维圆球。”1905年他发现提法中有错误，对它进行了修改：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间，被称作“高维庞加莱猜想”。

1958 年，宾(RH Bing)证明了庞加莱猜想的一个弱版本：如果一个三维球体中包含紧凑三维流形的每条简单闭合曲线，则该流形与三维球体是同胚的。

1960年美国数学家斯梅尔(smale)取得了第一个突破，他证明了庞加莱猜想对五维和五维以上的情形都是成立的，1981年美国数学家弗里德曼(Freedman)证明了存在着不是微分流形的四维流形，它的特殊情形就是四维庞加莱猜想，这样，所有大于三维的庞加莱猜想都被证明是成立的。

1982年，美国康奈尔大学汉密尔顿(RichardHamilton)创立了一种新方程——瑞奇流(Ricci)成为了解决庞加莱猜想的有效工具。

2000年5月24日，庞加莱猜想被美国克雷数学研究所的科学顾问委员会列入七个“千禧年大奖难题”之一，又称世界七大数学难题。这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经许多年仍未解决”，并决定建立700万美元的大奖基金，每个问题的解决者都可获得100万美元的奖励。

2002年11月起，俄罗斯数学家佩雷尔曼(GrishaPeretman)在一个张贴未正式发表论文的网站(arxlv.org)上先后公布了三篇文章，勾划了证明庞加莱猜想的要领，美国加州大学洛杉机分校教授、浙江大学数学中心执行主任刘光峰说：“佩雷尔曼的工作简直是神来之笔，好比打开了金矿的大门。”

2006年6月3日，中山大学的朱熹平教授和中国旅美数学家、美国里海大学的曹怀东教授在《亚洲数学期刊》6月号上发表了题为“庞加莱猜想和几何化猜想的完全证明：汉密尔顿-佩雷尔曼关于RICCI流理论的应用”的300多页的论文。他们运用汉密尔顿、佩雷尔曼的理论，第一次成功处理了猜想中“奇点”的难题，给出了庞加莱猜想的完全证明，完成了庞加莱猜想证明的最后“封顶”工作。佩雷尔曼由于在证明庞加莱猜想过程中发挥了最为重要的作用，因此获得了2006年的菲尔兹奖。

2010年3月18日，美国克雷数学研究所宣布，首个千禧年大奖将授予“庞加莱猜想”的解决者——俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼博士。

相关概念

拓朴学

拓朴学(Topotogy)是研究图形在拓朴变换下不变性质的几何学分支。拓朴变换是一种既不撕破也不捏合，但允许将图形伸缩和弯曲的变换。例如球面经拓朴变换可变成椭球面，但不能变成环面。在拓朴学中有“单连通的”的概念，假如我们把一块橡皮膜伸展在苹果表面上，然后可以在既不扯断，也不脱离苹果表面的情况下，使它收缩了一点；但是用同样的橡皮伸展到一个油炸圈饼表面，则没有办法使它缩为一点，我们说苹果表现是“单连通的”，而油炸圈饼表面不是“单连通的”。从拓朴等价的观点来看，对闭曲面而言，单连通性完全是球面的特性。因此对任意一个二维单连通曲面都与二维球面同胚(即拓朴等价)。

三维流形

一个流形具有几何结构(geometric structure)是指能够赋予这个流形完备的局部齐性阻callyhomogenous)的度量，局部齐性是说流形的任意两点局部存在小邻域是等距同胚的。

相关证明

高维庞加莱猜想的证明

庞加莱猜想是在3维流形范围之内的推广。而高维庞加莱猜想是把3维推广到更高的维数。由此得到高维庞加莱猜想：任何n维闭流形如果与n维球面同伦等价。则与n维球面同胚。高维庞加莱猜想有一个更为简单易懂的说法：任何n-1连通的闭流形一定与n维球面同胚。这里n-1连通是单连通的推广。单连通是指流形中每个圆圈St都能在流形上连续变形缩为一点。n-1连通则是指流形中的St，S：，⋯，S“都能在流形中连续变形缩为一点。

20世纪中叶，基本群研究取得了进展，在了解基本群与一般流形研究的紧密联系后，人们发现庞加莱猜想在高维流形上的研究要比三维容易。1960年，斯梅尔（S. Smale）成功证明了五维和五维以上的流形，因此获得1966年的菲尔兹奖。而后，斯塔林格斯（J. Stallings）证明了不低于七维的流形上庞加莱猜想成立，泽曼（C. Zeemall）证明了五维和六维的流形。费里德曼（M. Freedman）1981年证明了四维的流形，并因此获得1986年的菲尔兹奖。

汉密尔顿Ricci流证明法

汉密尔顿所创造的Ricci流方法，是基于李伟光-丘成桐不等式的微分方程。他的方程形式为：

佩雷尔曼证明法

佩雷尔曼分别使用到了两个方法，一个是逆向标量热方程的熵，来自对共轭热方程的李-丘微分型哈纳克不等式的积分；另一个是路径积分，来自同样的哈纳克不等式的最优李-丘路径积分。他所使用的熵，能使空间保持朝向几何化运动，同时也控制住了塌陷区域的大小和形状。接着，他用路径积分引入了一个时空距离函数，用来验证一般的非塌陷条件。佩雷尔曼用这两个方法对Ricci流证明了一个关键的有限时间内非塌缩估计，并且这个估计对任何维数都适用。当维数等于3时，正好排除了雪茄型奇点，而剩下的奇点可以利用连通和分解来去除。

佩雷尔曼的方法，不仅证明了庞加莱猜想，同时也证明了瑟斯顿几何化猜想，后者比前者更为广泛，把前者包含了进去。瑟斯顿几何化猜想是将三维空间细分为八类具均态几何的基本形状，而球面是其中一类。

相关争议

破解庞加莱猜想

2003年，丘成桐召集朱熹平和曹怀东，承担解释佩雷尔曼的证明的工作。2006年6月，朱和曹的文章在《亚洲数学杂志》上发表，随后熟悉佩雷尔曼证明的数学家不同意朱和曹对于庞加莱猜想做出重要新贡献的说法。其中摩根（Morgan）说道：“佩雷尔曼已经作了证明，这个证明是完整和正确的。我看不出他们作了什么不同的事情。”

2006年9月1日，丁伟岳教授发表了一篇帖子，质疑国内各主流媒体报道的由丘成桐教授宣布的“中国科学家朱熹平与曹怀东破解百年数学难题庞加莱猜想”，他惊讶的是，丘成桐教授竟然不知道当时国际上许多数学家认为俄罗斯数学家佩雷尔曼已经解决了庞加莱猜想。

曹怀东教授回应质疑说：“丘成桐教授的观点被媒体歪曲。我们只是跟着佩雷尔曼和汉密尔顿的脚步，解释了证明的细节。”

中国贡献

丘成桐多次用“封顶”一词来形容中国科学家的作用。他反复强调，在这个过程，美国科学家和俄罗斯科学家都做出了重大贡献，尤其是美国数学家汉密尔顿的贡献是开创性的。

著名数学家、中国科学院院士杨乐对此认为：如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在50%以上；提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在25%左右；中国科学家的贡献，包括丘成桐、朱熹平、曹怀东等，在30%左右。

最重要的证明者

2002年到2003年，俄国数学家佩雷尔曼(G．Perelman)在网上发表三个预印本声称克服了汉密尔顿纲领中的所有几何的、分析的技术困难。他面对这些有限时间奇点并加以分类，而且用他的手术(surgery)改造过的里奇流代替原来的里奇流，并把汉密尔顿对原有里奇流的估计以及极限情形的处理推广到手术改造过的里奇流上，这样就一举证明瑟斯顿的几何化猜想，自然也证明了椭圆化猜想以及其推论——庞加莱猜想。不管如何，专家承认佩雷尔曼对于3维流形上里奇流的研究是一项重大突破。佩雷尔曼这项工作眼下还没有获奖，但他1995年以前的工作已获1996年欧洲数学会的奖。汉密尔顿在2005年获得美国数学会波谢(B6cher)奖时，也提到他的工作。

2006年8月，第25届国际数学家大会上，美国数学家摩根和汉密尔顿都一致宣称俄罗斯数学家佩雷尔曼已证明了庞加莱猜想，并且授予佩雷尔曼“菲尔兹奖”。

应用和意义

基于庞加莱猜想的破解，对物理和数学界都有很大贡献，在三维空间的解决方面，这个猜想取得了第一个也是关键性的成果，它对于其他三维问题的解决、今后迈入宇宙的四维空间、一些空间科学包括黑洞等都将有很大用处。

数学

数学的“统一性”是20世纪以来数学发展的主要特征和趋势，而庞加莱在数学的许多分支中庞加莱都留有自己的创造性工作。尽管如此，他对拓扑学，尤其是代数拓扑学的贡献可以说是独一无二的，因为庞加莱创立了代数拓扑学的主题。庞加莱对拓扑结果的使用和理解主要有以下几个方面：

(1)微分方程解曲线的定性研究及其在天体力学中对三体问题和其他微分方程的应用。

(2)推广黎曼在黎曼面方面的工作，用代数曲面研究二元多值函数。

(3)推广黎曼关于阿贝尔积分的工作，并在本研究中使用黎曼面的拓扑，如贝蒂数；同时研究微分形式的积分，特别是重积分的周期。

(4)应用多重积分周期的研究来理解动力学中扰动函数的渐近展开。

(5)寻找李群的有限子群。

(6)寻找李群的无限离散子群，李群类似于富克斯群和克莱因群。

(7)代数曲面的分类，并通过对底层四维实流形进行拓扑分类来理解其双有理变换。可以看出，这些论述与近现代数学中的许多主流数学分支均有密切联系。

物理学

霍金关于宇宙开端之前无时间的证明不漂亮，也不完备，借助空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面的庞加莱猜想嫡流，在一个三维空心圆球上，用一条封闭的曲线把球分成两半， 先把一半收缩成局部平面， 组成圆球内外对称图相的翻转， 可证这类对称中隐含不对称的轨道交流， 必经庞加莱猜想球点自旋的复杂程度概率阻断。庞加莱的这种系统属于完全规则和完全混沌之间的一种中介情况。

时间起源

类似点、曲点、开弦、闭弦、自旋、平动、往返、连续、间断等抽象的几何图相和动力图相概念， 应用到自然数、整数、有理数、无理数、虚数等领域， 或者零维、一维、二维、三维、四维等空间， 可以做到逻辑上求真， 所以庞加莱才醉心于超前的数学探索。把庞加莱的那些艰深的数学映射到运用， 它的超前是十分惊人的。庞加莱猜想嫡揭示的时间起源，就是一例。因为如果说， 牛顿力学、相对论力学、量子力学， 乃至超弦理论中的数学公式，对于时间的计量， 都是可逆对称的，例如， 现在的状态可以说明过去， 也可以预展测未来，时间被降到第二位置， 那么时间箭头、时间起源就不重要。

相关人物

庞加莱

亨利·庞加莱（法语：Jules Henri Poincaré，1854—1912），法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。还在中学时，庞加莱就已显示出他的数学才能，被老师称为“数学巨怪”。1873年他以第一名考入综合理工学校，毕业之后在矿业学校修工程课程，并短期担任过工程师。在此期间他进行数学研究，很快写出他的博士论文并于1879年获得博士学位。之后在卡昂大学任教，并于1881年任巴黎大学教授，在这个职务上一直到1912年去世。庞加莱33岁就成为法国科学院院士，1908年成为最荣耀的法兰西学士院院士。他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，只是其中一个。

佩雷尔曼

格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman，俄语：Григорий Яковлевич Перельман，1966—），俄罗斯数学家，Ricci流专家。佩雷尔曼16岁获得国际奥林匹克数学竞赛的金奖，毕业于圣彼得堡国立大学，获得数学博士学位，后在圣彼得堡科学院Steklov研究所工作。2002年11月至2003年7月，先后写出了3篇文章，证明了世界七大数学难题之一的庞加莱猜想，因而获得了有数学诺贝尔奖之称的菲尔兹奖。但他却拒绝了领奖，包括拒绝克雷数学研究所奖励他的100万美元在内的等多个奖项。

美国加州大学洛杉机分校教授、浙江大学数学中心执行主任刘光峰说：“佩雷尔曼的工作简直是神来之笔，好比打开了金矿的大门。”

汉密尔顿

理查德·汉密尔顿（Richard Hamilton，1943—），1966年在美国普林斯顿大学获得博士学位，现任美国科学院院士、哥伦比亚大学的数学教授。1982年，他创建的Ricci流方程及其理论，成为几何分析领域中最重要的方法之一，并提出用其作为破解庞加莱猜想的解析方法，也因此以“Ricci流之父”誉满数学界。

菲尔兹奖和克雷福德数学奖得主丘成桐教授认为汉密尔顿是整个庞加莱猜想证明过程的主帅、领导人，他是一个伟大的数学家，是丘成桐教授本人所能看到的少数具有原创性的数学家之一。