黎曼几何 （非欧几何的一种）

简介

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

黎曼几何是爱因斯坦广义相对论推演的重要数学工具，并因其影响而广为传播。如今，黎曼几何学已广泛用于数学、物理等各个领域。

简史

黎曼几何的起源可以追溯到数学家卡尔·弗里德里希·高斯，他首次提出了曲率的概念。随后，伯纳哈德·黎曼提出了一般化的曲率概念，并开创了黎曼几何的研究领域。1854年，黎曼对空间与几何的概念作了深入的研究后，发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。很快，黎曼几何的概念被应用到相对论中，并为现代物理学带来了新的思路。 随着19世纪末和20世纪初多项黎曼几何理论的发明和发展，黎曼几何的应用领域也日趋广泛。几何学家纳拉西姆汉在其著作“黎曼全集”中对黎曼几何进行了系统的总结，成为了黎曼几何中的重要著作之一，为后来黎曼几何的研究提供了重要的参考。

黎曼于1854年开发的一种非欧几里得几何。在欧几里得几何中，平面上两个相邻点之间的距离由以下形式的关系给出：

ds = dx + dy

其中使用直角笛卡尔坐标。更一般地，该关系可以写为：

ds = Adx + B dx dy + C dy

其中A、B和C取决于x和y。高斯考虑了这种情况，并表明可以根据A、B和C本质上确定一点的曲率。黎曼将这种方法推广到任意数量维度的任意类型度量空间的研究中。现在所谓的黎曼空间是一个具有 n 个坐标 ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) 的空间，其中相邻点之间的距离由二次形式给出。

其中g _ij (x ) 是x ₁ , x ₂ , …, x _n的函数。在黎曼几何的原始形式中，ds 必须始终为正，尽管在广义相对论的应用中并非如此。通常，系数g _ij (x ) 被认为具有非零行列式。g _ij (x ) 是对称协变张量场（度量张量）的分量。在黎曼几何中，两点之间的距离可以通过 ds 的积分来确定。黎曼曲率由涉及黎曼空间的度量张量和高斯和埃尔文·布鲁诺·克里斯托菲尔 (1829-1900) 后称为黎曼-克里斯托菲尔曲率张量的张量的表达式定义。

黎曼几何对人们思考几何的方式和张量分析的发展产生了深远的影响。它对于广义相对论的表述以及后来发展统一场论的尝试也至关重要。该术语有时在更严格的意义上使用来描述特定类型的非欧几里得几何，其中平面被解释为球体，直线被解释为球体上的大圆。在这种形式的非欧几里得几何中，欧几里得的平行公设被以下公设所取代：没有一条线可以通过位于线外的点与给定线平行。此外，欧几里得的第二个假设（一条直线可以在两个方向上无限延伸）也不适用。这种非欧几何也称为椭圆几何。

基本概念和理论

基本概念

黎曼几何是具有更广泛的应用领域和更深刻的理论内涵的一种几何学。它最重要的概念是曲率，欧氏空间没有曲率的概念，而在黎曼几何中，曲率是一个基本概念。在曲率的影响下，我们需要改进欧几里得空间的定义，使得它更加适应现实世界中的尺度问题。 在欧氏几何中，我们可以通过勾股定理的公式方便地计算空间的大小和距离；而在黎曼几何中，我们必须考虑空间的曲率来计算大小和距离。与欧氏几何相比，黎曼几何中的勾股定理是一个非线性的函数，因此计算非常困难。

黎曼几何发展了空间的概念，黎曼提出了n维流形概念，他认为几何学中的研究对象为“多重广延量”，空间中的点可以用n个实数（x1, x2, …, xn）作为坐标进行表示。这种空间可以容纳不同的度量关系，而我们所处的空间是一种三元延伸量的特例。在欧几里得空间中，超出了已知测量范围的几何学就要依靠物理学来研究。针对这一问题，黎曼提出了在无限小的意义下，基于无限邻近点之间的距离仍然满足勾股定理。由此，将高斯的思想进一步一般化，给出了黎曼度量的概念，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量，而赋予黎曼度量的微分流形便为黎曼流形。经典微分几何曲面论中的诱导度量束缚了几何的发展，黎曼几何学帮助数学家和物理学家摆脱了这一现状，为近代数学和物理学的发展提供了帮助。

黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础，引入了流形曲率的概念，通过其可描述欧氏空间及更一般的空间，在所描述的空间中，图形的形状和大小不会因为其位置的变换而变化。在黎曼几何中，最重要的一种对象就是常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：曲率恒等于零、曲率为负常数、曲率为正常数。前两种情形分别对应欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形是一种非欧几何学。因此，黎曼几何认为在同一平面内任何两条直线都有公共点。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面，黎曼空间本质上是弯曲的。欧几里得几何是黎曼几何的特例（欧几里得几何是弯曲为零的黎曼几何）。与传统空间不同，在黎曼空间里，坐标线不一定是直的，坐标线之间不一定是互相垂直的，坐标线的尺规也不一定是单位1，可以每个地方都不同。由此经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系，就是如今狭义意义下的黎曼几何，是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。

其后，黎曼几何学进一步发展，克里斯托费尔和利普希茨等解决了黎曼几何中的一个基本问题——微分形式的等级问题；里奇发展了张量分析方法，这一研究成果在广义相对论中广泛应用；霍普夫对黎曼空间微分结构与拓扑结构的关系进行了研究；嘉当开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了黎曼几何与李群之间的联系。及至1915年，爱因斯坦在广义相对论中运用黎曼几何和张量分析工具，黎曼几何的研究和应用更加广泛。

经典定理

下面给出部分的黎曼几何古典理论。

一般定理

1. 高斯-邦内定理：紧致二维黎曼流形上高斯曲率的积分等于 2πχ( M )，其中 χ( M ) 表示M的欧拉特征。该定理可推广到任何紧致偶维黎曼流形，请参阅广义高斯-邦内定理。

2. 纳什嵌入定理：他们指出每个黎曼流形都可以等距嵌入欧几里得空间 R 中。

大几何

在以下所有定理中，我们假设空间的某些局部行为（通常使用曲率假设来表述），以导出有关空间全局结构的一些信息，包括有关流形拓扑类型的一些信息或有关“足够大”距离的点的行为的信息。

收缩截面曲率

1. 球体定理。如果M是截面曲率严格收缩在 1/4 和 1 之间的单连通紧n维黎曼流形，则M微分同胚于球体。

2. 奇格有限定理。给定常数C、D和V，只有有限多个（直到微分同胚）具有截面曲率的紧致n维黎曼流形 | 克| ≤ C，直径 ≤ D且体积 ≥ V。

3. 格罗莫夫的几乎平坦的流形。存在 ε _n > 0，使得如果n维黎曼流形具有截面曲率 | 的度量。克| ≤ ε _n且直径 ≤ 1 则其有限覆盖微分同胚于零流形。

截面曲率限制在下方

1. 奇格-格罗莫尔灵魂定理。如果M是一个非紧完全非负弯曲n维黎曼流形，则M包含一个紧、完全测地线子流形S，使得M与 S 的法丛微分同胚（S称为M的灵魂）特别是，如果M处处具有严格正曲率，则它与R n同胚。G. Perelman在 1994 年给出了灵魂猜想的一个令人惊讶的优雅/简短的证明：如果M仅在一点处具有正曲率，则M与R 微分同胚。

2. 格罗莫夫贝蒂数定理。存在常数C = C ( n )，使得如果M是具有正截面曲率的紧连通n维黎曼流形，则其Betti 数之和至多为C。

3. 格罗夫-彼得森有限性定理。给定常数C、D和V，只有有限多个截面曲率K ≥ C、直径 ≤ D且体积 ≥ V的紧致n维黎曼流形同伦类型。

截面曲率受上方限制

1. 嘉当-哈达玛定理指出，具有非正截面曲率的完全单连通黎曼流形M通过任意点的指数映射微分同胚于欧几里得空间 R ，其中n = dim M。这意味着具有非正截面曲率的单连通完全黎曼流形的任意两点都由唯一的测地线连接。

2. 任何具有负截面曲率的紧致黎曼流形的测地流都是遍历的。

3. 如果M是一个完全黎曼流形，其截面曲率以严格负常数k为界，则它是一个CAT( k ) 空间。因此，它的基本群Γ = π ₁ ( M ) 是格罗莫夫双曲群。这对基本群的结构有很多影响： 

• 它是有限呈现的；

• Γ 的文字问题有正解；

• 群 Γ 具有有限虚上同调维数；

• 它仅包含有限个有限阶元素的共轭类；

• Γ 的阿贝尔子群实际上是循环的，因此它不包含与Z × Z同构的子群。

里奇曲率下界

1. 迈尔斯定理。如果完全黎曼流形具有正的里奇曲率，则其基本群是有限的。

2. 博赫纳公式。如果紧致黎曼n流形具有非负 Ricci 曲率，则其第一个 Betti 数至多为n，当且仅当黎曼流形是平坦环面时才相等。

3. 分裂定理。如果完整的n维黎曼流形具有非负的里奇曲率和一条直线（即，使每个区间上的距离最小化的测地线），则它与实线和具有非负的里奇曲率的完整 ( n -1) 维黎曼流形的直积等距。

4. 毕肖普-格罗莫夫不等式。在具有正里奇曲率的完全n维黎曼流形中，半径为r的米制球的体积至多等于欧几里得空间中相同半径r的球的体积。

5. 格罗莫夫紧性定理。所有具有正 Ricci 曲率且直径至多为D的黎曼流形的集合在Gromov-Hausdorff 度量中是预紧的。

负里奇曲率

1. 具有负里奇曲率的紧黎曼流形的等距群是离散的。

2. 任何维度n ≥ 3 的光滑流形都承认具有负 Ricci 曲率的黎曼度量。（对于表面来说，情况并非如此）

正标量曲率

1. n维环面不允许具有正标量曲率的度量。

2. 如果紧n维黎曼流形的单射半径≥ π，则平均标量曲率至多为n ( n -1)。

应用

黎曼几何在相对论中的应用

相对论是现代物理学的重要分支，黎曼几何在相对论中有着深远的应用。在爱因斯坦的相对论理论中，一个物体的质量和空间的几何形态有着密切的关系。相对论曲率的概念是通过黎曼几何发展而来的，这种曲率可以更为准确地描述空间的几何形态和曲率性质。 通过对于曲率的研究，如黎曼曲率张量和黎曼度规，可以对物理学的现象进行描述和推导，如引力场、黑洞和宇宙演化等，是物理学各个领域的重要基石。

黎曼几何的数学研究方法

黎曼几何具有一种全新的数学研究方法，这种方法在现代数学理论的发展中起到了关键作用。黎曼几何的研究方法引入了一种新的数学工具，如流形、张量分析和微分几何等，这些工具为其他数学领域带来了新的研究方法和理论。 在微分几何中，黎曼几何理论给出了微分形式的几何意义。物理学、拓扑学、代数学、数学物理学等领域中，也引进了黎曼几何中的符号和方法，并且这些方法也被广泛应用于这些领域的研究中。

黎曼几何的应用领域具体案例

黎曼几何作为数学体系的一个分支，它在实际应用中也有着广泛和重要的意义。如在人造卫星和地球的位置定位系统中，就需要在弯曲的空间中确定位置和方向。 在另外一些应用场合中，黎曼几何也常常被使用到，如在计算机图形学中，三维渲染需要用到空间的几何特性；在机器人和无人驾驶汽车的控制中，黎曼几何也有着重要的应用。