圆锥曲线 （一平面截二次锥面得到的曲线）

简介

圆锥曲线经历了论证几何、解析几何、射影理论、线代理论等多方面的研究，形成了多种定义。目前使用的主要是第一定义和第二定义（统一定义）。

根据统一定义有，给定离心率

圆锥曲线应用广泛。宇宙中天体的运动轨迹是圆锥曲线，根据圆锥曲线性质可推算天体运动。每种圆锥曲线拥有独特的光学性质，应用于探照灯、手电筒等器件的设计中。圆锥曲线还可用于机械零件设计和位置定位等。

历史沿革

古代起源

圆锥曲线的发现和研究可能源于制作日晷的工作过程。在机械钟表发明之前, 人们通过测量同一物体在阳光下影子的变化来确定太阳的运行情况, 从而得到精确的时间，并根据这一原理制作出日晷。圆锥曲线起源的另一说法是在解著名的三大尺规作图问题 (化圆为方、倍立方和三等分角) 时发现的。

公元前四世纪，古希腊几何学家梅内克繆斯（Menaechmus）最早给圆锥曲线命名，并利用抛物线解决了“立方倍积问题”。令一个平面垂直于顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥的母线，截得的边线即是圆锥曲线。

阿波罗尼斯（Apollonius）第一个依据同一个圆锥的截面来研究圆锥曲线理论，也是首先发现双曲线有两支的人。其著作《圆锥曲线论》较系统地研究了圆锥曲线的性质。阿波罗尼斯从几何直观上给出了圆锥曲线静态的原始定义：用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。在《圆锥曲线论》中圆锥曲线也称为“圆锥截线”。严格来讲，得到的交线除了圆、椭圆、双曲线和抛物线外，还包括三种退化情形（一条直线、一个点和两条相交直线）。

近代发现

直到16世纪，人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，也是自然界物体运动的普遍形式。17世纪初，开普勒（Galilei Kepler）发现行星绕太阳运动轨迹是椭圆，伽利略（Galileo Galilei）确定抛物线轨道是抛物线等。

解析几何

解析几何以论证几何为基础，利用坐标系通过“几何问题→代数问题→求解→反演”的方式将几何代数化，还可由已知的代数结果发现新的几何性质。解析几何的创始人笛卡儿和费马重现了圆锥曲线的理论，此后论证几何的研究方法被逐渐摈弃。

沃利斯（John Wallis）在《论圆锥曲线》中，第一次用方程分别定义了椭圆、抛物线和双曲线。

牛顿 （Newton） 在他所著的《光学》 (1704) 中推证了圆锥曲线的切线和曲率问题及其在光学中的应用。

洛必达在他的《圆锥曲线解析论》（1720） 中采用第一定义推导出椭圆的标准方程，同时也给出了焦点-准线定义及其统一方程。

1745年欧拉发表《分析引论》，给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述：在笛卡尔平面上，二元二次方程

定义

一个平面与圆锥面相交，也可以说是“用一个平面去截圆锥面”，这个平面就称为截平面，它们的交线又称为截线。用一个平面去截一个圆锥面，所得截线的形态与截平面的位置有关。

从欧氏几何到解析几何，再到射影几何和线性代数中的二次型理论，圆锥曲线的定义经历了原始定义、平面上动点的轨迹定义、射影定义、标准方程定义、焦点-准线定义、代数方程的统一定义以及通过二次型的惯性指数进行分类研究的变化过程。

圆锥曲线的表述方式也经历了由几何静态的直观描述→几何动态的度量性质描述→射影性质的描述→代数方程的形式描述的变化过程。而研究方法从欧氏几何的纯几何综合法→射影几何的方法→以坐标为媒介的解析法→线性代数二次型的正交变换法，经历了由繁到简，定性研究到定量研究，再到形式研究的变化。

目前主要的有第一定义（椭圆和双曲线拥有）和第二定义。

第一定义

第一定义分别对不同的圆锥曲线进行了描述。

• （1）椭圆：平面内与两个定点F₁、F₂距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

• （2）双曲线：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值为常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

• 第二定义（统一定义）

圆锥曲线的第二定义也称为统一定义。

给定一点O，一直线l以及一非负实常数

• （1）

  

  

  设AB是离心率为

  

  设圆锥曲线C的离心率为

  

  设AB为过圆锥曲线的一个焦点F的一条弦，

  

  圆锥曲线C的离心率为

  

  AB为过圆锥曲线C的焦点F的弦，AB的中垂线交曲线C过焦点的对称轴于R，直线RF交曲线C的焦点F相应的准线于点K，则A、K、B、R四点共圆。

  椭圆

  平面内到两个定点F₁、F₂距离之和等于常数2a（2a＞｜F₁F₂｜）的动点P的轨迹叫做椭圆，即｜PF₁｜+｜PF₂｜=2a。椭圆有以下性质：

  定义
  方程
  离心率
  参考来源：

  双曲线

  平面上到两个不重合定点F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数2a的动点P的轨迹叫做双曲线。双曲线有以下性质：

  定义
  方程
  通径
  参考来源：

  抛物线

  平面上到一个定点F与到一条定直线l（定点不在定直线上）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。抛物线有以下性质：

  标准方程
  顶点
  参考来源：

  相关概念

  坐标变换

  在不同的坐标系下，曲线的方程具有不同的形式。坐标变换的中心问题就是探讨当坐标系变化时，曲线方程的变化规律。坐标变换中出现不变量，反映了曲线固有的（与坐标系的选择无关的）性质。因此，坐标变换的目的，一是简化曲线方程从而研究曲线性质，二是把特定坐标系中曲线方程的研究成果向一般的坐标系推广。

  坐标变换分两种情况：轴的平移（只改变原点位置而不改变轴的方向）和轴的旋转（只改变轴的方向而不改变原点位置）。

  掌握坐标变换要注意以下几点：

  （1）熟练掌握移轴化简二次方程的方法：待定系数法和配方法。

  待定系数法是将平移公式代入须化简的二次方程，消去一次项，确定

  

  单叶旋转双曲面

  双曲线

  虚轴

  

  双叶旋转双曲面

  双曲线

  实轴

  

  旋转抛物面

  抛物线

  焦点所在轴

  

  注：圆锥曲线也可形成柱体或相互组合形成其他的二次曲面

  参考来源：

  相关文化

  蝴蝶问题

  蝴蝶定理（Butterfly Theorem）是古典欧氏平面几何的最精彩的结论之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形像一只蝴蝶。2001、2003、2010年高考曾多次以蝴蝶问题为背景命题。

  

  现实应用

  天文物体运动

  宇宙中天体的运动轨迹是圆锥曲线。行星绕太阳运动轨道是椭圆，彗星运动轨道分为椭圆、双曲线和抛物线三种。

  对于宇宙飞船，其飞行速度等于第一宇宙速度时轨道是一个圆，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间时轨道是椭圆。等于第二宇宙速度时是抛物线，大于第二宇宙速度时是双曲线的一支。根据圆锥曲线性质即可推算天体或飞船的运动轨迹。

  

  光学性质应用

  在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，那么射出的光线经抛物镜反射即可变成平行的光线。汽车前照灯、探照灯、手电筒就是根据这一原理设计。根据光路可逆性，平行光经抛物线反射后集中于焦点，太阳灶由此设计而来。

  从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后会交于另一个焦点上。电影放映机聚光灯泡反射镜面的部分曲面由椭圆绕长轴旋转而成，可以使片门处获得最强光线。

  从双曲线的一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线反向延长将汇聚到另一焦点上。双曲线的应用包含双曲线型反射镜面灯泡等。

  生产生活应用

  许多机械零件和建筑物组成部分的轮廓线采用椭圆、双曲线或抛物线的一部分。

  利用圆锥曲线方程进行定位，在军事与科学技术上应用也非常广泛。