如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

本页面主要目录有关于四点共圆的：定理、证明方法、判定与性质等介绍

别名

四个点共圆

适用领域

平面几何

所属语种

数学

定理

判定定理

方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）

方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）

托勒密定理

若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么

四点共圆

如图，在四边形内作

四点共圆

设有一△ABC，P是平面内与ABC不同的点，过P作三边垂线，垂足分别为L,M,N，若L,M,N共线，则P在△ABC的外接圆上。

如图，

四点共圆

四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：

（1）

四点共圆

（即图中
四点共圆
）

（2）

四点共圆

（同弧所对的圆周角相等）。

（3）

四点共圆

（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）

（4）

四点共圆

（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）

（5）

四点共圆

（相交弦定理）

（6）

四点共圆

（割线定理）

（7）

四点共圆

（切割线定理）

（8）

四点共圆

（托勒密定理）

说明：切割线定理，割线定理，相交弦定理统称圆幂定理

其他定理：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。