充分必要条件 （数学中的一个概念）

简介

公元前6世纪，古希腊思想家巴门尼德（Parmenniddes，公元前6世纪后期）及其弟子芝诺（Zeno，公元前5世纪）就在“归谬法”中提出了逻辑论证的基本原则。受到这一思想的影响，古希腊哲学家和科学家亚里士多德在他的著作《形而上学》中，提到了“必需的”相关定义和概念。古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，提到了一些充分必要条件的理论。

数学中有许多充分必要条件的示例，生活和工程中充要条件也很常见。

定义

从集合角度理解

用

结论

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充分必要条件

p是q的既不充分也不必要条件

从逻辑学角度理解

若由条件能推出结论，则条件叫做结论的充分条件；

若由结论能推出条件，则条件叫做结论的必要条件；

若条件与结论能互相推出，则条件叫做结论的充分必要条件；

若条件与结论互相不能推出，则既不是充分条件也不是必要条件 ；

即：当命题“若P则Q”为真时，P称为Q的充分条件，Q称为P的必要条件。因此：

• 当命题“若P则Q”与“若Q则P”皆为真时，P是Q的充分必要条件，同时，Q也是P的充分必要条件。

• 当命题“若P则Q”为真，而“若Q则P”为假时，称P是Q的充分不必要条件，Q是P的必要不充分条件，反之亦然。

相关概念

充分条件

充分条件：p

公元前3世纪的斯多克斯学派(the Stoics) 对数学证明中实际应用的基本论证形式进行过详细的分析，其中以克里斯帕斯（Chrysippus）的分析最为细致。这种逻辑形式不是以亚里士多德的三段论为基础，而是以命题为基础的。克里斯帕斯提出了假言推理、否定后件率、假言三段论及选言三段论。古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，提到了一些充分必要条件的理论。

充要条件的举例

数学问题中的充要条件

在很多数学题的解析中会用到充分必要条件，如向量形式的角平分线、函数图像关于点对称的的问题、三点共线、导函数的奇偶性、一类一元二次方程根的应用、等差数列的应用等。

例题

• 例题：函数y=f（x）的图像关于点M（m，n）对称的充要条件是函数y=（f（x）+m）-n为奇函数。

证明：不妨设 m>0，n>0。将函数y=f（x）的图象向左平移m个单位，再向下平移n个单位，就得到函数y=（fx+m）-n的图象。由此可知，函数y=f（x）的图象关于点M（m，n）对称的充要条件就是y=（fx+m）-n的图象关于原点对称，即y=（fx+m）-n为奇函数。

工程中的充要条件

在科学研究中，充分必要条件也经常被使用到。科学家们通过实验、观察及数算，探讨事物之间的因果关系。通过确定充要条件，科学家可以更好地理解和解释现象，并为进一步的研究提供指导，如在运载火箭纵向动态特征分析方面。由于火箭的运动具有纵向渐进稳定性，反之只要有一个正实部或一对共轭复根的实部为正，运动参数将随时间的增加而无限地偏离其未扰动的值。故火箭纵向运动是不稳定的。所以，特征方程式的各个根具有负的实部是火箭具有纵向渐进稳定性的充要条件。

生活中的充要条件

充要条件在生活中通常用“当且仅当……，则……；需要且只需要”来表示。如：“当且仅当脑死亡，则人死亡”。意味着，“脑死亡”是“人死亡”的充要条件。