在数学中, 特别是在常微分方程的研究中，皮亚诺存在定理（又称为皮亚诺定理、柯西-皮亚诺定理）是以数学家朱塞佩·皮亚诺的名字命名的一个定理。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的初始条件下的解的存在性。

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外文名

Peano existence theorem

发明者

朱塞佩·皮亚诺

历史

这个定理最早由数学家朱塞佩·皮亚诺在1886年发表，但是他给出的证明是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。

定理

设

皮亚诺存在性定理

为
皮亚诺存在性定理
的一个开子集，以及一个连续函数：
皮亚诺存在性定理
.

皮亚诺存在定理：定义在

皮亚诺存在性定理

上的一个一阶线性常微分方程（其中
皮亚诺存在性定理
）.

皮亚诺存在性定理

皮亚诺存在性定理
皮亚诺存在性定理
必然有局部解。也就是说，必定存在一个关于
皮亚诺存在性定理
的邻域，以及一个函数：
皮亚诺存在性定理

满足

皮亚诺存在性定理

相关定理

皮亚诺存在定理可以和另外一个存在性定理：皮卡-林德洛夫定理作比较。相比起皮亚诺存在定理，皮卡-林德洛夫定理对函数

皮亚诺存在性定理

的要求更严格，但结论也更强。皮卡-林德洛夫定理要求函数
皮亚诺存在性定理
局部地满足利普希茨条件，也就是说在任意一点
皮亚诺存在性定理
的附近，都有一个常数
皮亚诺存在性定理
和一个邻域
皮亚诺存在性定理
，使得对于
皮亚诺存在性定理
中任意的
皮亚诺存在性定理
两点，都有：

皮亚诺存在性定理

这个要求比单纯的连续性要高，但是得出的结论也更强了：皮卡-林德洛夫定理说明，在满足上述要求时，微分方程的局部解不仅存在而且是唯一的。

例子

设

皮亚诺存在性定理

为一个常数，考虑函数
皮亚诺存在性定理
。

根据皮亚诺存在定理，由于函数

皮亚诺存在性定理

在
皮亚诺存在性定理
上连续，微分方程有解。但由于
皮亚诺存在性定理
，
皮亚诺存在性定理
在
皮亚诺存在性定理
上不满足利普希茨条件，于是解不一定是唯一的。事实上：
皮亚诺存在性定理
，函数
皮亚诺存在性定理
都是微分方程的解，也就是说解有无穷多个。这个反例来源于一个物理模型：假设有一个漏水的容器，其水面高度（函数
皮亚诺存在性定理
）和时间（变量
皮亚诺存在性定理
）的关系由以上的微分方程定义的话，那么由于事实上可以观测到漏水的过程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某个时刻的状态（
皮亚诺存在性定理
）的话，是无法倒过来推测原来的水位有多高的（也就是说没有唯一解）。