一元一次方程 （数学中的整式方程、线性方程）

简介

一元一次方程的历史可以追溯到3000多年前古埃及的莱茵德纸草书，草书中古埃及大祭司用假设法来解此类问题。后代数学家例如花拉子米（Al - Khwarizmi）、婆什迦罗（Bhaskara）、斐波那契（Fibonacci）、程大位等等均用假设法来解方程。直到韦达将符号代数系统化，一元一次方程的解法摆脱了语言描述。1859年，李善兰将此类代数问题命名为一元一次方程。一元一次方程属于线性代数中的线性方程，形式有多种，例如字母方程、分式方程等等。其解法一般可以归类为3种，一般方法、公式法和图像法。

一元一次方程可以解决绝大多数的工程问题、行程问题、分配问题、盈亏问题、积分表问题、电话计费问题、数字问题。也可以解决化学物理中的公式计算，例如压强公式、焦耳公式等等。

定义

• 一元一次方程：只含有一个次数为1的未知数，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程，例如

  

  线性函数的性质

  1.在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少 km。

  2.当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

  3.当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

  在两个一次函数表达式中：

  当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

  当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

  当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

  当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；

  当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

  

  求根方法

  运算法则

  1.方程的各项可以在改变符号以后，由方程的一边移向另一边。

  2.方程的边有相同的项时，可以相消。

  3.方程的两边如有公约数，可以约去。

  4.方程可以去掉分母内不含有未知数的各分数的分母。

  一般方法

  一般解方程顺序

  • 去分母（用最简公分母乘方程两边所有的项）

  • 去括号（括号前是负号时，括号内各项都变号）

  • 移项（要变号）

  • 并项

  • 系数化为1（两边同除以未知数的系数）

  例如

  

  如图得知当f（x）＝0时，x＝-1

  所以3x+3＝0 的解为x＝-1

  衍生概念

  字母方程

  方程中的已知数用字母表示叫做字母方程

  例如：y+y/a＝b

  ay+y＝ab

  （a+1）y＝ab

  y＝（a+1）/ab

  分式方程

  含有分式，并且分式的分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。解分式方程，应得先将方程化成整式方程。用含有未知数的代数式去乘方程的两边，得出的解应带入原方程检验，防止增根。（乘值等于0为增根现象，需舍掉）

  例如：6/（x+2）-（x+2）/（x-2）+x²/（x²-4）＝0

  去分式（用x²-4即（x+2）（x-2）乘方程的两边），

  6（x-2）-（x+2）²+x²＝0，

  去括号，6x-12-x²-4x-4+x²＝0，

  2x＝16，

  x＝8。

  经检验当x＝8时，x²-4＝64-4＝60≠0 。

  ∴x＝8 为方程的根。

  应用

  在物理学中有很多的公式也是可以直接或者间接看作一元一次方程，例如密度公式 ρ ＝ ｍ/ Ｖ，比热容的定义公式 ｃ ＝ Ｑ/ｍΔｔ等等。而在真正的物理问题中，一个变量随着一个变量变化的例子有很多。例如匀速直线运动的 ｓ ＝ ｖ·ｔ，路程随着时间的变化而做均匀变化；一定弹性限度内的弹簧，弹簧长度随着拉力的增大而不断增加。如已知里程为100km，速度为50km/h，求到达目的地所需的时间。可设时间为t，t＝s/v＝100/50＝2h，即可得知所需时间为2h。

  如在生产生活中，通过已知一定的液体密度和压强，通过公式代入解方程，进而计算液体深度的问题。计算大气压强约等于多高的水柱产生的压强，已知大气压约为100000帕斯卡，水的密度约等于1000千克每立方米，g约等于10米每二次方秒（10牛每千克），则可设水柱高度为h米，列方程得1000*10h=100000，解得h=10，即可得知大气压强约等于10米的水柱所产生的压强。

  

  

  

  问题示例

  《鸡兔同笼》

  大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何。”

  该问题可用一元一次方程解决，解法如下：

  解法：设鸡有x只，兔有35-x只。

  由题意得：

  解得：x=23。

  兔的数量 35-x=12。

  答：鸡有23只，兔有12只。

  丢番图问题

  希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：丢番图长眠于此，他的目标多么令人惊讶，它忠实地记录了他生命的轨迹；上帝给予的垂髫时光占六分之一，又过了十二分之一，髯须渐渐长出，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后弄璋之喜，儿子诞生。可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。

  根据以上信息，算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄。

  解法：设丢番图的寿命x岁；

  则

  

  解的

  

  丢番图开始当爸爸时的年龄：

  

  儿子死时丢番图的年龄：84-4＝80

  盈不足的问题

  《九章算术》中所有的一元问题都是通过算术方法求解的，其中最重要的方法就是“盈不足术” 。在盈不足章中有题为“今有共货物，人出八，盈三。人出七，不足四。问：人货各几何”假设有x人，货物为8x-3。则8x-3＝7x+4。解得x＝7 货物为53。