韦达定理 （法国·韦达建立的方程根与系数的关系）

简介

对于一个一元二次方程

在欧洲，韦达定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Francois Viete）首先发现而得名。韦达定理不单适用于一元二次方程，还能推广至更一般的一元n次方程。韦达定理在方程根的求解、圆锥曲线和三角恒等式等具有广泛的应用。

历史

公元 300 年，中国数学家赵爽编著的《周髀算经》中已有发现类似韦达定理的根与系数的关系的记载，并通过文字描述了求解一元二次方程的根的一般方法，与韦达定理的差别在于没有字母化的求根公式。

16世纪，法国数学家弗朗索瓦·韦达（Francois Viete）发现了代数方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理。

有趣的是, 16 世纪已经发现的韦达定理需要代数基本定理（实系数的一元n次方程一定有n个根）才能得证，而后者直到1799 年才由德国数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss）首次做出实质性的论证。

定义

一元二次方程的两根之和等于它的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于它的常数项除以二次项系数所得的商。根与系数的这种关系，叫做韦达定理。

对于一个一元二次方程

设点C和点D的坐标分别为

例如， 在右图中，椭圆曲线

证明过程如下：

记

由韦达定理可得：

结合

直线CA的方程可表示为：

为了求解点M的坐标，令

因此点M的坐标为：

同理，点N的坐标为：

则直线FM和FN的方向向量分别为：

结合

解析几何中的应用

利用韦达定理，可以求解解析几何中的一些运用，比如求解直线方程。

如已知直线

根据解析几何的知识，设直线的方程为

将上述两个方程联立，消去参数b，可得:

k=1

将k=1代入其中一个方程，可得b=1。因此，直线

接下来，我们用韦达定理来验证一下刚才的结果。由于直线

将上述两个方程展开后消元，即可得到：

y=x+1，这和之前求得的结果一致。

从上述例子中，我们可以发现，利用韦达定理可以简单快捷地求解直线的方程，特别是对于已知直线经过某些点的情况，应用韦达定理可以更快速地得到直线的解析表达式。