在序理论中，理想是偏序集合的一个特殊子集偏序，表示为集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想。在环论中，理想（Ideal）是一个抽象代数中的概念。理想的对偶概念，就是说通过反转所有的 ≤ 并且交换V为A获得的概念是滤子。在整个数学学科中，理想的概念还涉及代数数论，是理想概念的推广，也叫分式理想。

本页面主要目录有关于理想的：环论、序理论、代数数论、集合论 等介绍

中文名

理想

外文名

ideal

应用学科

数学

定义

数学概念

环论

环R的一个非空子集I，如果对于R的两个代数运算，满足条件：对任意

理想

,有
理想
，则称I是环R的一个左理想。类似有右理想定义。

环R的一个非空集合I，如果对于R的两个代数运算，满足条件：对任意

理想

,有
理想
，则称I 是环R的一个右理想。

环R的一个非空子集I，如果既是左理想又是右理想，称I为R的双边理想，通常简称I为R的理想。

序理论

序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合

理想

的非空子集 I 称为一个理想，若I 满足：

I是下闭的。即，

理想

I是有向的。即，

理想

理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下：格

理想

的非空子集I 是理想，当且仅当：

1.I是下闭的。

2.I对于有限并(上确界)运算封闭，即，

理想

。

代数数论

亦称分式理想，是理想概念的推广。设R为一整环，K为其商域（分式域），

理想

是R模。若存在非0的c∈R使
理想
，则称M为分式理想。通常的理想（又称整理想）也是分式理想。戴德金环的分式理想全体构成一个乘法阿贝尔群，由其素理想生成。

集合论

在集合论中，理想是一种特殊的集族。它与滤子相对偶。零S是一非空集，S上的理想F是由S的子集所组成的集族。它满足下列条件：

1、

理想

，且
理想
；

2、若X∈F，且

理想

，则
理想
；

3、若

理想

，且
理想
，则
理想
；

S上的理想F'被称为素理想，如果对每个

理想

，有
理想
。

理想概念是斯通（Stone，M.H.）于1934年提出的。