欧拉公式(英文：Euler's formula)，是瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（英文：Leonhard Euler）于1748年发表的数学公式，欧拉公式指出，对于任何实数x，有：

e^{i x}=\cos x+i \sin x
，其中
e
是自然对数的底数，
x
是虚数单位，
\cos x
和
\sin x
分别是三角函数余弦和正弦；当x = π时，欧拉公式可重写为
{e}^{\pi i}+1=0
或
{e}^{\pi i}=-1
，后者也被称为欧拉恒等式

本页面主要目录有关于欧拉公式的：基本概念、证明、几何解释、相关应用、历史、相关概念等介绍

中文名

欧拉公式

外文名

Euler's formula

提出时间

1748年

发明者

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）

表达式

复数，三角形，拓扑学，统计学、图论

所属学科

数学、物理

简介

欧拉公式将三角函数的定义域扩大到复数，建立了复数域中三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位。

欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”

基本概念

在复数域中，指数函数和三角函数可以通过以下简单的等式联系起来。

欧拉公式

由该公式可以推出

欧拉公式

欧拉公式具有直观的几何解释。在如右图图所示的坐标系上画出一个单位圆，其中横轴为实轴，纵轴为虚轴。对于实数“1”而言，可以在实数轴上可以用一个单位向量表示。现对其逆时针旋转

欧拉公式

欧拉公式

用于频谱信号实部和虚部的分离

对于一个频谱信号

欧拉公式

关于三角形的欧拉公式，是指

欧拉公式

其中

欧拉公式

是一个多面体的顶点数，
欧拉公式
是棱数，
欧拉公式
是面数。欧拉公式揭示了空间凸多面体的顶点、棱和面之间的关系，用于几何图像分类等研究中。

分式的欧拉公式

分式的欧拉公式指的是下面的式子。

欧拉公式

注释

[a]

如果x是复数，该公式仍然有效