三角形外心到各边距离之和等于外接圆半径与内接圆半径之和,这一定理称为卡诺定理,在推断代数等领域中的三角形性质中有重要作用。

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应用学科

热力学

简介

内容

三角形外心到各边距离之和等于外接圆半径与内接圆半径之和

引理

在外接圆半径为R,内接圆半径为r的三角形ABC中,r和R有如下关系:

卡诺定理

证明

假设ABC为外心为D的锐角三角形,外心到AB、BC、AC的距离分别为DG、DH、DF,则在三角形HDB中,由外心性质可得

卡诺定理

卡诺定理

由此,DH的表达式为

卡诺定理

同理

卡诺定理

因此,

卡诺定理

根据引理,得证

卡诺定理

当ABC为钝角三角形,且角B大于90°时,则有

卡诺定理

卡诺定理
卡诺定理
所以
卡诺定理
结论相同,卡诺定理得证。