流体力学上的势函数，和变分法中最小势能原理的势函数有什么关系？

题主你好。简单来说，能引入流体力学的势函数的要求是速度矢量场是无旋场，由此可以定义标势函数。这一点和力学里的势能十分类似。但是二者完全不同，物理学上的势能是可以用来判定物理体系的稳定的。势能低的体系要比势能高的体系稳定。但是流体力学的势函数不具有这个性质。不仅如此，势能本身是构成哈密顿量、拉格朗日函数的一个重要部分，或者说势能本身就能决定动力学方程。但是流体力学的势函数不决定动力学方程。这是很大的差异，可以说是物理学本质差异。此外，势能还有一个重要物理意义：即相互作用的反映。但是流体力学的势函数没有这层含义。

以上三点是从物理学的角度来比较势函数和势能的差异，下面我将从数学的角度来比较二者。数学上的比较就得先忘掉物理。从数学上看，势函数和势能都是体系具有可积性的反映。无旋场即有势场，这是数学上的结论。也正因为如此，我们可以放弃矢量场而转向考察标量场，这时候就可以将计算的难度大大降低！但是要强调，物理学上引入势能是必要的，甚至是非这样做不可的。但是流体力学引入势函数却没有“非这样不可”的味道！标量天生比矢量要简单，这是因为标量本身的自由度低得多，而矢量的自由度要高得多。存在一个可以消除大量自由度的条件，对于物理学来说是“救命稻草”。所以，从这个角度来看，流体力学的势函数和力学的势能有异曲同工之妙。