是否存在体积无限但表面积有限的图形？

著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

存在。不仅存在，而且还可以是有界的闭图形（以下简称紧图形）。

无界图形的答案感觉差强人意，这只能说是让图形失去外表面，而不是让图形真正的拥有有限表面积。

的确在三维空间里固定体积的紧图形中球体的表面积最小，在四维空间里固定超体积的紧图形应该也是超球的体积最小（证明据说复杂无比）。因此，当一个图形表面积确定时，它的体积总无法超过相同表面积的球体，因此是有界的。但是注意到这里其实有一个前提条件：限定图形的维度与空间的维度相同。一旦解除这个限定条件，球体的表面积就不再是“三维紧图形”中最小的了。

人类能想象到的最大空间是三维，所以首先从三维空间里找灵感。这时，考虑三维空间内的曲面，并分析它的面积与周长之间的关系。很容易想到，当放一个圆盘在三维空间中，再把它像吹泡泡一样吹大时（或者简单地说，考虑三维椭球面的上半球），圆盘的周长是不变的，但是表面积想要多大有多大：

这个方法可以沿用到任意维度，比如固定一个图形的表面积时，只需要考虑四维中的椭球面 的上半部分（即 部分）即可。此时我们可以发现它的边界只发生在 即 时，因此表面积就是 ，但是它的体积等于 ，与 成正比。

有一点需要说明的是，如果不把椭球面截为两半，那么看起来这个球面就不存在边界了，因此它体积为正数但是周长为0.但问题在于，这样的椭球面不同胚于真正的二维平面，因此可能有人觉得无法将这样的图形视为曲面。

刚才说明了在高维空间中，表面积相同的所有图形中不存在体积最大的一个，接下来具体地构造一个表面积有限体积无限的图形。依然是通过低维寻找灵感。考虑闭区间上的曲线，此时，曲线 在闭区间 内连续且长度无限。原因其实很简单，只需要把各个震荡区间的顶点用折线连起来，对折线长度求和即可。顶点列满足 ，折线段长度为 ，因此总长度是发散的。

通过这一事实，可以预期如下的三维曲面有固定周长但面积无限：

理由是类似的，因为在靠近中间部位的时候 总是大于某一个常数，因此总可以用一个边长固定的方块从内部逼近从而给出曲面表面积的下界，之后问题归结于一维的情况，并因此得出曲面表面积无限。

最后使用同样的方法，可以得到表面积固定但体积无穷的图形。

这个图形是三维的，但是仅存在于四维空间（例如克莱因瓶，也是不存在于三维空间的图形，但它局部只是二维曲面）

最重要的一点，这些图形都是紧的，因此它们都可以看作是实际存在的。比如说，现实世界中存在周长有限而表面积无限的物体。

至于如何确定图形的哪些部位是“边界”哪些部位是“内部”，只需要看它是否局部与开球或是半球（即将开球截为两半时得到的，半开半闭的半球）同胚即可。因此是定义良好的。